Правильно: кулер.
Верно: на Чукотке. Выбор предлога обусловлен исторически.
В этом предложении нет причин ставить запятую.
Запятую после слов с уважением принято ставить, хотя пунктуационных оснований для этого нет. Наличие здесь запятой объясняется влиянием европейской традиции письма.
Сравнительный оборот чем прежде обособляется: сильнее, чем прежде, любить и надеяться.
Запятая не нужна. Но предложение построено неудачно, лучше его переформулировать.
Верно написание строчными буквами, без кавычек.
Правильно писать выздоровеешь. Вариант выздоровишь допустим для передачи разговорного употребления.
Правильно: Кто знает, как поздравить Россию с Новым годом, лучше нас? (Кто лучше нас знает...)
С другим смыслом: Кто знает, как поздравить Россию с Новым годом лучше нас? (Как лучше нас поздравить...)
Вы написали правильно.