Правильно: проведение дней рождения.
Правильно без запятой: одиночное согласованное определение (зачитанных), стоящее после определяемого слова (книг) не требует обособления.
Правильно: командировка в город Москву.
Да, правильно: в городе Мирном, в микрорайоне Заречном.
Это несклоняемое название.
Составные числительные, заканчивающиеся на два, три, четыре, в именительном-винительном падеже не сочетаются с существительными, имеющими формы только множественного числа. Придется перестроить предложение, например, так: есть ворота в количестве 62 (шестидесяти двух) штук. Подробнее о проблеме сочетаемости можно прочитать в «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (§ 166, п. 3).
