Правильно: города Мирного. Подробнее см. в «Письмовнике».
Название этого города склоняется в русском языке.
Есть такая должность на железных дорогах: помощник диспетчера, составляющий графики движения поездов.
Лучше: в метрополитене. Вариант на метрополитене поддерживается сильной аналогией с сочетанием на железной дороге.
Лучше: в метрополитене. Вариант на метрополитене поддерживается сильной аналогией с сочетанием на железной дороге.
Обстоятельством, если это наречие (оживлённо жестикулировать); сказуемым, если это краткое прилагательное (движение на дорогах оживлённо).
Обращение Виолетта Анатольевна отделяется запятой:
Здравствуйте, Виолетта Анатольевна!
Виолетта Анатольевна, здравствуйте!
Но:
Дорогая Виолетта Анатольевна!
Уважаемая Виолетта Анатольевна!
Верно: Минспорт, это слово склоняется: Минспорта, Минспорту, Минспортом, о Минспорте.
Дубай – имя существительное мужского рода, склоняется как слово сарай: Дубай, Дубая, Дубаю, Дубай, Дубаем, о Дубае.