В объявлении ошибки нет. Правильны оба варианта: в Строгино и в Строгине. См. подробно в «Письмовнике».
Правильно: рассудок сохранив. Сохранить – глагол совершенного вида (что сделать?), от него образуется деепричастие совершенного вида сохранив. Форма сохраня неверна.
Склонение мужской фамилии Рудь обязательно. Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются в русском языке. Правильно: для Леонида Рудя, Леониду Рудю.
Запятая нужна.
Запятая перед как не требуется.
Правильно: верить во что-то.
Выбор формы зависит от контекста. Употреблять такую форму в значении "в следующем октябре" неверно.
Род таких существительных определять не принято.
Да, Вы написали верно.
Мужская фамилия склоняется, женская нет. Правило можно прочитать в «Письмовнике» (п. 13.1.4.).