Слово логарифм пришло к нам из французского языка (фр. logarithme), в котором восходит к греческим словам logos (λόγος) 'слово, понятие, учение' и arithmos (ἀριθμός) 'число'. Получается, что буква а в словае логарифм — это первая буква второго греческого корня. Самое что ни на есть справедливое написание, отражающее историю слова. Поэтому менять орфографию слова логарифм не планируется.

В значении 'отдельный человек как работник' слово кадр — одушевленное существительное, соответственно верным будет вариант найти кадра. Обратите внимание, что использование этого слова в единственном числе в этом значении допустимо только в разговорных текстах.

Корректно раздельное написание: условно готовый; условно сданный; условно завершенный.

Оба варианта возможны.

Нет, не является. Возможно: феодальной раздробленности на Руси и феодальной раздробленности Руси; феодальной раздробленности в Древней Руси и феодальной раздробленности Древней Руси.

Вы правильно оформили предложение. Если нет точного указания, кому принадлежит прямая речь, кавычками она не выделяется.

Запятая перед сравнительным союзом так же как и поставлена верно, а вот для тире между подлежащим она и сказуемым поддержала нет оснований.

В текстах для подготовленного читателя, знакомого с использованием слова в этих значениях, можно кавычки не использовать. В остальных случаях кавычки нужны.

Правило можно сформулировать так.

Если обобщающее слово стоит перед однородными членами, а после них предложение продолжается, то после обобщающего слова ставится двоеточие, а после однородных членов – тире.

Подробнее о знаках препинания в предложениях с однородными членами и обобщающим словом можно прочитать в «Учебнике Грамоты».

Предикативная основа простого предложения — это его подлежащее и сказуемое, а в односоставных предложениях — либо подлежащее, либо сказуемое. Подробно о предикативных основах можно почитать в «Русской грамматике».

Поскольку в качестве примера Вы привели одно из тестовых школьных заданий, мы не можем разобрать его в «Справке».