Правильно: наставник (кого?) молодых специалистов. Но возможен контекст и с дательным падежом. Ср.: слуга царю, отец солдатам, наставник молодым специалистам.
Управление зависит от контекста: объявить импичмент (кому?) президенту (управляет глагол, дат. п.); процедура импичмента (кого?) президента (управляет существительное, род. п).
Если бабочка – насекомое, то правилен второй вариант: найти (кого?) бабочек. Если имеется в виду галстук-бабочка, то первый: найти (что?) бабочки.
Правильно: О направлении Н. Г. Бекетовой на курсы повышения квалификации. О направлении (кого?) Бекетовой, Нины Алексеевны, сотрудника и т. п.
Верно: врио командира Иванову И. И. Падеж слова командир определяется при расшифровке: временно исполняющему обязанности (кого?) командира Иванову И. И.
Грамматическая ошибка есть: играет роль для кого. Корректно: играет роль в чем (Красота играет важную роль в жизни всех людей).
Правильно без точек. Если сокращение обозначается косой чертой, после сокращенных элементов слов точки не ставятся (чтобы не показывать графически сокращение дважды).
Такова практика. Есть еще несколько подобных традиционных сокращений с косой чертой, например д/о - дом отдыха, дневное отделение и т. д.
Правильно: о признании (кого?) Храмогиной Ирины. Но во избежание двусмысленности лучше изменить порядок слов: о признании Храмогиной Ирины нуждающейся в социальном обслуживании.
Оба варианта неудачны: непонятно, кто кого контролирует (руководство предприятия контролирует рабочую группу? руководство контролирует предприятие рабочей группы? предприятие контролирует руководство рабочей группы?).
