Дело в том, что корень -яв- начинается с согласного звука, а не с гласного: буква Я обозначает в данном случае два звука, согласный J и гласный А. Ср.: семя и семья.

Ответ был дан, по-видимому, по «Морфемно-орфографическому словарю» А. Н. Тихонова (М., 2002), то же в электронной версии словаря.  В  «Морфемно-словообразовательном словаре» И. В. Гурковой (М., 2012) представлены слова запасать и, как производное, запасаться, в которых обозначен корень запас-.

Однако более правильным представляется выделение в словах запас, запасать, запасти связного корня -пас-. Тот же корень в словах припасти, напасти, а при более этимологичном подходе еще и спасти, спасать. Такая точка зрения представлена, кроме упомянутых словарей Б. Т. Панова — А. В. Текучева и З. А. Потихи, в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».

Более того, можно предположить, что в «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова содержится опечатка или ошибка. Так, в статьях припасти, припастись и напасти, напастись дается отсылка к за/пас/ти, за/пас/ти/сь. В «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова (М., 1990) статьи запасти, припасти, напасти снабжены перекрестными отсылками. Ср. статьи «Морфемно-орфографического словаря»: 

запас | запа'с/

запасти | запас/ти'

напасти¹ | на/пас/ти'¹ [ср.: за/пас/ти'] 

напастись¹ | на/пас/ти'/сь¹ [ср.: за/пас/ти'/сь]

припасти | при/пас/ти' [ср.: за/пас/ти']

припастись | при/пас/ти'/сь [ср.: за/пас/ти'/сь]

Правильнее выделить в этом слове корень мешоч- и суффикс -ек. Да, существительное мешок образовано от мех, но в современном русском языке суффикс -ок- в этом слове уже не выделяется (значение слова мешок в современном языке не может быть объяснено через значение слова мех).

Использовать сочетание из черт его лица в этом предложении неправильно. Верно: ...исчезла с его лица.

Оба варианта верны, если имеется в виду, что члены совета входят в рабочую группу. Глагол создает имеет немного другое значение. Более близкая замена – составляет.

В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова выделяется корень сосуль- в слове сосулька.

Верно писать с частицей ни: Как бы ни старался.

Это правило действует для безударного корня -лаг- – -лож-. В слове ублажить совсем другой корень (-блаж-).

В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова (М., 2002) в этом слове выделен корень отрывок.

Оба варианта неудачны: непонятно, кто кого контролирует (руководство предприятия контролирует рабочую группу? руководство контролирует предприятие рабочей группы? предприятие контролирует руководство рабочей группы?).