Нормативно: в сети Интернет.
Интернет – склоняемое существительное: настройка интернета (Интернета).
Да, допустимо: Фидонет (по аналогии с написанием Интернет).
Структурный принцип пунктуации требует постановки запятых в приведенных Вами примерах. Однако в некоторых случаях действие структурного принципа ограничено. Д. Э. Розенталь писал о таком ограничении для распространенных определений: «Не обособляются распространенные определения <...> стоящие после определяемого существительного, если последнее само по себе в данном предложении не выражает нужного смысла и нуждается в определении: Марья Дмитриевна приняла вид достойный и несколько обиженный (Т.) — сочетание слов приняла вид не имеет смысла; Чернышевский создал произведение в высшей степени оригинальное и чрезвычайно замечательное (Д.П.); Вы выбрали судью довольно строгого (Л.); Вернер — человек замечательный по многим причинам (Л.); Если вы человек себя уважающий… то непременно напроситесь на ругательства (Дост.); Попытки писать просто приводили к результатам печальным и смешным (М.Г.) — без последующих двух определений существительное не выражает нужного понятия; Это была улыбка необыкновенно добрая, широкая и мягкая (Ч.); Нас встретил мужчина стройный и приятной наружности; С портрета смотрит на вас лицо умное и весьма выразительное (ср.: …лицо женщины, поразительно красивое); Все они оказались учениками хорошо подготовленными; Деление — действие обратное умножению; Мы часто не замечаем вещей куда более существенных; Вошёл пожилой человек с черепом лысым, как у апостола». Примеры, которые Вы привели, подходят под это правило.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Слово Интернет пишется с прописной буквы. Правильно: Реклама в Интернете.
Принято говорить: доступ в Интернет. Но: получить доступ к секретным документам.
1. Кавычки не нужны.
2. Ставятся два дефиса, Интернет - с прописной буквы.
Адрес для доступа к «Проверке слова» через мобильный Интернет: http://pda.gramota.ru/.
