Корректно: далеко не безынтересный. Прилагательное безынтересный вполне нормативно: Всё это такие вопросы, уяснение которых далеко не может быть безынтересным для общества [М. Е. Салтыков-Щедрин. Новаторы особого рода (1868)]; ...Кое-как, в полусонной, безынтересной, безвкусной жизни по инерции доживали российские крестьяне, алепинские старики и старухи, свой век [В. А. Солоухин. Смех за левым плечом (1989)].

Так Вам и нужно принять решение: склонять фамилию как русскую на -ин (с Берлиным) или склонять как мужскую иноязычную (с Берлином). Ср.: с Чаплиным (Всеволодом) и с Чаплином (Чарли).

Если женская фамилия Берлин (не Берлина), то соответствующую мужскую корректно склонять как иноязычную (с Берлином).

Такого правила не существует. С большой буквы при обращении к одному лицу и с маленькой при обращении к нескольким лицам пишутся только местоимения Вы, Ваш.

Теоретически слова милый, любимый, родной и т. д. могут быть написаны с большой буквы, если автор приписывает им особый высокий смысл. Но это будет индивидуально-авторское написание, отклоняющееся от общей нормы.

Можно объяснить тем, что это словарное слово :) А можно историей слова. Движимый – это форма древнего глагола движить. От глагола на -ить образовалась форма с суффиксом -им-. Но глагол движить перестал употребляться, и слово движимый стало соотноситься с глаголом двигать, от которого образуется причастие и прилагательное с суффиксом -ем- – двигаемый. Так слово движимый оказалось исключением. 

Запятая не нужна. Запятая в подобного рода конструкциях, состоящих из глагола быть, найти, остаться, вопросительно-относительного местоимения или наречия (кто, что, где, куда и др.) и неопределенной формы другого глагола, не ставится: будет о чем поговорить, есть на что посмотреть, есть к чему стремиться, не нашла что сказать, осталось на что жить и т. д.

Запятая не нужна. Запятая в подобного рода конструкциях, состоящих из глагола быть, найти, остаться, вопросительно-относительного местоимения или наречия (кто, что, где, куда и др.) и неопределенной формы другого глагола, не ставится, ср.: будет о чем поговорить, есть на что посмотреть, есть к чему стремиться, не нашла что сказать, осталось на что жить и т. д.

Поймать кураж – разговорное выражение. Его употребление в тексте газетной статьи зависит от общей стилистики текста: если статья содержит какую-либо сухую, официальную информацию, такое выражение вряд ли может быть в ней уместно. Но если статья не претендует на строгость и сухость, если она ориентирована на своеобразный диалог с читателем, сочетание поймать кураж в ней вполне допустимо.

Да, согласно грамматическим нормам русского языка Ваша фамилия склоняется. Проблем быть не может, т. к. склонение фамилий – это вопрос грамматики, а написание фамилий – вопрос орфографии; юридические казусы возникают именно из-за орфографически спорных ситуаций, когда имя, отчество, фамилия неодинаково пишутся в разных документах: Наталья или Наталия, Геннадьевич или Геннадиевич, Чернышёв, Чернышев или Чернышов и т. п.

Правильно: мосты, посты. Русское ударение не фиксированное (как, например, во французском языке или в польском), оно подвижное и разноместное, в разных словах (и даже формах одного слова) может падать на разные слоги. Аналогии и рассуждения «если правильно... то должно быть ...» к ударению в русском языке неприменимы, в спорных случаях надо обращаться к орфоэпическим словарям.

В данном случае перед нами пояснительный оборот, не сопровождающийся пояснительными союзами типа то есть, а именно. Такие обороты выделяются с помощью тире; двоеточие при них может быть поставлено только в случае, если поясняются информативно недостаточные слова главное, одно и т. п. (см. параграф 82 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина).