Слова число и цифра различаются по значению и по происхождению. Число — единица счёта, выражающая количество (один дом, два дома, три дома и т.д.). Цифра — знак (символ), обозначающий значение числа. См. подробнее: Числа и цифры.
В нарицательном существительном ведомость (и, соответственно, в имени собственном «Ведомости») предпочтительно сохранять ударение в формах косвенных падежей мн. числа на корне: ведомостей (это строгая литературная норма), но допустимо и переносить на окончание: ведомостей.
Форму единственного числа с этим значением можно встретить в разговорной речи.
Форма мн. ч. существует.
Правильно: Российская академия художеств.
Форма мн. числа в данном случае уместна, хотя предпочтительной следует считать форму ед. числа.
Да, запятая после сообщать обязательна.
Такое рассогласование некорректно.
Ваше замечание справедливо. В районе в значении 'приблизительно' – разговорное употребление. В нейтральных контекстах лучше его избегать.
Правильно написание строчными (т. к. это не собственное наименование). Обратите внимание: в последнем издании «Русского орфографического словаря» РАН (4-е изд. М., 2012) зафиксировано слитное написание: нагорнокарабахский. Таким образом, правильно: нагорнокарабахский конфликт или просто карабахский конфликт (такой вариант употребляется чаще).
