Корректно слитное написание.
Корректно: деионизированная вода. См. словарную фиксацию.
Нужно тире с пробелами; название должности пишется строчными: директор – главный конструктор.
Корректно: мост через реку Зею.
Корректно: Уйти на охоту, перекинув ружье через плечо.
Сочетание через время в значении 'через некоторое время' некорректно. Слово некоторое опускать не стоит: Сначала меня перевели в соседний город, а через некоторое время я оказался уже в Москве.
Рекомендуем ориентироваться на фиксацию орфографического словаря РАН и писать: Хеллоуин.
Можно сказать: бороться с незаконными перевозками, с незаконным провозом.
В большом количестве энциклопедических словарей это слово зафиксировано с буквой о, а в лингвистических словарях – с а. Аргументацию в пользу такого написания находим в словарях иностранных слов. Например, в словарях Л. П. Крысина разных лет сообщается, что слово гексаген восходит к греч. формам hexa... шести и genes рождающийся и что написание гексоген ошибочно.
Спасибо за интересный вопрос!
