Корректно: в лицее "Бауманский", в Бауманском лицее.
Капля – прозвище Олив Райли? В таком случае кавычки не нужны: Всемирная паутина оплакивает смерть Олив Райли, или Капли, старейшей блогерши планеты.
Сочетание соседка по койке не вполне корректно, лучше указать помещение: соседка по каюте, соседка по палате и т. п.
Это корень с чередованием. См. здесь.
Глагол уберечь можно отнести к непроверяемым, так как нет проверочного слова с ударным слогом бе. Однако учеными недавно был предложен способ проверки для корней с полногласными сочетаниями (ере, оло): в таких корнях написание определяется проверкой хотя бы одной гласной (бере́чь) или подбором слова с неполногласием (небрежный). Этот способ пока малоизвестен и в школе не применяется.
Корректно: Отпуск не скоро.
Например, повИнный.
Вряд ли такой оборот речи возможен. Лучше: они ослепляют умы... не позволяя (лишая возможности) познать истину.
Пробел в данных случаях нужен.
