Мария, приведенные Вами примеры - это задания интернет-олимпиады по русскому языку. Олимпиада проводилась нашим порталом в прошлом году, и ответы опубликованы. Их можно найти здесь.

Местоимение который в предложении формально "замещает" имя Марья Ивановна (голос Марьи Ивановны), поэтому стоит в соответствующей форме женского рода родительного падежа. Окончание этой формы: -ой.

В этимологическом словаре М. Фасмера высказано предположение, что кошка могло быть образовано от слова коша  — уменьшительно-ласкательного к кот (подобно тому как образуются Маша от Марья, Паша от Павел и т. д.).

Эта фамилия может склоняться по образцу прилагательного (Шарого, Шарому и т. д.) или по образцу существительного второго школьного склонения (Шарыя, Шарыю и т. д.). Следует уточнить образец склонения у носителя фамилии.

Эта фамилия склоняется так же, как имя Мария или название Россия: Еремии, Еремии, Еремию, Еремией, о Еремии. Если в именительном падеже ударение падает на -я, тогда в дательном и предложном падежах окончание -е: Еремие.

Если это фамилия славянского происхождения, то ее женский вариант — Куцына (ср. Куницын — Куницына). Однако возможен и случай, когда подобных фамилиях невозможно выделить суффикс -ын, и тогда они не изменяются: Иван Куцын и Марья Куцын. 

Да, нормами русского языка закреплено стяженное (редуцированное) произношение отчеств. Например: Николай Николаич, Максим Максимыч, Марья Алексевна, Ольга Николавна, Александр Василич. Это норма для звучащих текстов неофициального характера; в официальной речи принято полное произношение имен и отчеств. 

Эту фамилию можно воспринять и как имеющую окончание -ый и, следовательно, склоняющуюся как прилагательное (Шарого, Шарому, ср.: ярого, ярому), и как имеющую нулевое окончание со склонением по образцу существительных (Шарыя, Шарыю). Здесь право выбора – за носителем фамилии.

Эта рекомендация, приведенная в справочнике Д. Э. Розенталя, устарела, она не соответствует современной норме письма. Несколько лет назад в Институте русского языка им. В. В. Виноградова РАН была подготовлена новая редакция правил употребления прописных и строчных букв, отвечающая орфографической практике конца XX – начала XXI века и одобренная Орфографической комиссией при Отделении историко-филологических наук РАН. Эти правила приведены в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина, в орфографическом словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?». Согласно этим правилам, в названиях улиц, площадей, бульваров и т. п. с прописной буквы пишутся все слова, кроме родовых терминов (самих слов улица, площадь, переулок, проспект, бульвар и т. п.), а также слов года, лет. Таким образом, правильно: улица Каретный Ряд, улица Кузнецкий Мост, улица Борисовские Пруды, площадь Никитские Ворота.

Отметим также, что в некоторых более поздних изданиях справочника Д. Э. Розенталя (вышедших в свет уже после смерти автора) тоже рекомендуется писать улица Каретный Ряд, площадь Никитские Ворота (т. е. в эти издания внесены изменения), но в некоторых изданиях еще повторяется старая рекомендация (Каретный ряд).