Текст подстрочного примечания, как правило, не согласуется с формой поясняемого текста – ведущее слово независимо от падежа поясняемого слова ставят в именительном падеже. Текст примечания, как самостоятельное предложение, необходимо начинать с прописной буквы и в конце ставить точку. Обязательного требования повторять поясняемое слово в тексте примечания нет, но для полноты примечания это имеет смысл сделать. Итак, правильно:

На гаке* было 5 барж.

При решении вопроса о корректности написаний нужно учитывать официальное название организации. Если это Городское общество инвалидов, то правильно писать: члены Городского общества инвалидов. В других вариантах название пишется со строчной буквы: председатель общества инвалидов. Соответственно, если официальное название другое, например N-ская городская организация N-ской областной региональной организации общероссийской общественной организации «Всероссийское общество инвалидов», то и сочетание городское общество инвалидов нет оснований начинать с прописной буквы.

Мы с этим мнением категорически не согласны. Академическим орфографическим словарем установлено написание -шен для всех подобных слов: нон-фикшен, фешен, промоушен, ресепшен, экшен и т. д. Это не прихоть авторов словаря, такое решение имеет свое обоснование: при написании без е согласный ш начинает выполнять не свойственную ему в русском языке слоговую функцию. Мы предлагаем ориентироваться все-таки на предписания орфографического словаря, а не на посты в социальных сетях)

Во всех приведенных вами предложениях слова автора следует начинать с прописной буквы, поскольку все они образуют отдельное предложение. В последнем предложении (если это одно предложение) пропущена запятая: Зачем так официально — «Наталья Борисовна!», «Наташа» вполне подойдёт. Но лучше разделить это предложение на два: Зачем так официально — «Наталья Борисовна!»? «Наташа» вполне подойдёт. Необходимость постановки восклицательного знака вызывает сомнения.

Орфографически правильно дефисное написание: Струги-Красные. Правило звучит так: пишутся через дефис названия, представляющие собой сочетание существительного с последующим прилагательным. Ср.: Петропавловск-Камчатский, Гусь-Хрустальный, Переславль-Залесский, Москва-Товарная (станция). Раздельное написание на дорожных указателях ошибочно.

Что касается написания прилагательного, то и оно пишется через дефис: струго-красненский (правило: пишутся через дефис прилагательные, образованные от пишущихся через дефис имен собственных, ср. санкт-петербургский от Санкт-Петербург, ленинск-кузнецкий от Ленинск-Кузнецкий). Обе части прилагательного пишутся с прописной, если оно начинает собой составное географическое или административно-территориальное название: Струго-Красненский район.

Пунктуация при «встрече» присоединительного союза также и подчинительного союза (например, если) в начале предложения не описана в справочниках, и это не случайно: предложение вообще не рекомендуется начинать со слова также, о чем подробно можно прочитать в статье В. В. Кавериной. Если убрать это слово, смысл не пострадает: Если вы будете пить кофе, возьмите воды с лимоном. Если же по каким-либо причинам предложение редактировать нельзя (например, нужно дословно записать сказанные кем-то слова), то указанную запятую рекомендуем поставить.

Академическим орфографическим словарем установлено написание -шен для всех подобных слов: нон-фикшен, фешен, промоушен, ресепшен, экшен и т. д. Такое решение имеет свое обоснование: при написании без е согласный ш начинает выполнять не свойственную ему в русском языке слоговую функцию. Вариант нон-фикшн зафиксирован в «Словаре трудностей русского языка» М. А. Штудинера, который впервые был издан в 2016 году, когда слово еще не получило фиксацию в академическом орфографическом словаре. Однако при выборе написания следует ориентироваться именно на орфографический словарь.

В словарях русского языка для работников СМИ (в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко, в «Словаре трудностей русского языка для работников СМИ» М. А. Штудинера) именно такая фиксация: Биньямин Нетаньяху.

Исторически родственные имена в разных языках могут произноситься (и передаваться на русский язык) по-разному: имя начинает жить по фонетическим законам принявшего его языка. Библейское имя Биньямин (Беньямин) в английском языке приобрело форму, передаваемую на русский язык как Бенджамин, а в русском языке, например, стало Вениамином.

Корректным будет отделить вопрос от остального предложения двоеточием; запятая перед или не требуется, так как в этом случае союз ли... или соединяет однородные части составного именного сказуемого  при подлежащем Россия и связочном глаголе является: Отметим, что экспансия России на восток вынуждала к поискам некоего идеологического обоснования, а площадь восточных приобретений намного превышала «метрополию» на западе, что закономерно ставило вопрос: является ли Россия Европой или уже Азией? Обратите внимание, что слова запад и восток в таком контексте, судя по всему, называют страны света, поэтому их нужно начинать со строчной буквы. 

Различение незаконченной фразы и купюры в цитате не предусмотрено. Однозначно указывает на купюру многоточие в угловых скобках, но его рекомендовано использовать для обозначения пропущенного предложения или нескольких предложений. Обычно потребность в таком обозначении возникает в книжной речи.

В Вашем предложении знак купюры синтаксически оправдан: Помню, как ты без конца твердил: «Унылая пора!.. <...> ...Люблю я пышное природы увяданье…»  Но при передаче речи в бытовой ситуации этот знак кажется неуместным. Предлагаем обойтись без него, но добавить многоточие перед Люблю, так как это слово не начинает предложение в источнике цитаты: Помню, как ты без конца твердил: «Унылая пора!.. ...Люблю я пышное природы увяданье…»