Ощущение верное. Действительно, перед нами два однородных (относящихся к слову подскажем) придаточных, соединенных одиночным союзом и. В таких случаях запятая перед союзом не нужна (см. пункт 2 параграфа 119 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).

Запятая после что нужна.

В заголовке лучше все же было написать «Конкурс пожарных», поскольку слово пожарник - разговорное. См. подробно в «Словаре трудностей».

В сложносочиненных предложениях, объединенных вопросительной интонацией, запятая не ставится: Мы ещё это обсудим или я уже могу приступать? А что это за девочка и где она живёт?

Большой толковый словарь

ПЛЕОНАЗМ, -а; м. [от греч. pleonasmos - излишество]
Речевое излишество с точки зрения смысловой полноты высказывания, стилистической выразительности, выражающееся в скоплении близких или идентичных по значению слов (сниться во сне, самый лучший, толпа людей, своя автобиография и т.п.). 

КВАЗИ... [от лат. quasi - как будто, будто бы] Первая часть сложных слов.
1. Вносит зн.:
мнимый, ложный, ненастоящий. Квазиалмазный, квазибезвыходный, квазиврач, квазигерой, квазизащитник, квазинаучный, квазипоэзия, квазидемократ, квазиреволюционный, квазисоциалист, квазиспециалист, квазиучёный.
2.
Обозначает отнесённость к квазарам (самоизлучающимся телам во Вселенной, подобным звёздам). Квазизвезда, квазизвёздный, квазиизлучение, квазиоптика, квазипустота.

Из БСЭ:

Козлобородник (Tragopogon), род растений семейства сложноцветных. Дву- или многолетние травы, содержащие млечный сок. Листья линейные или ланцетные. Цветки язычковые жёлтые, реже розовые или пурпуровые, в крупных корзинках с однорядной обёрткой. Семянка с хохолком. Более 150 видов в умеренных областях Старого Света. В СССР около 80 видов, главным образом на Кавказе и в Средней Азии. Наиболее распространены по лугам и лесным полянам К. луговой (Т. pratensis) и К. восточный (Т. orientalis).

ГЛАГОЛ, -а; м.
1. Высок.
Слово, речь. * Глаголом жги сердца людей (Пушкин).
2. Грамм.
Часть речи, обозначающая действие или состояние предмета и изменяющаяся по временам, числам, лицам (в настоящем времени)
и родам (в прошедшем времени). Г. совершенного вида. Неправильные глаголы. Вспомогательный г. < Глагольный, -ая, -ое (2 зн.). Г-ое окончание. Г. вид. Г-ая рифма (лит.;
рифма, образуемая глаголами). Глагольность, -и; ж.
Наличие признаков глагола у какого-л. слова. Приобрести, обнаружить г.