Слово початый зафиксировано в словарях русского языка как разговорное в значении 'начатый, уже употребленный, вскрытый', возможно раздельное написание НЕ с этим словом именно в этом значении. Однако в устойчивом выражении непочатый край правильно слитное написание (несмотря на наличие зависимого слова еще).
В значении 'по мере сил' слова как мог, как могли и т. д. не обособляются. Верно: Мы гоняли их как могли, когда вас увидели.
Запятая после думал нужна.
См. об этом подробно в «Русской грамматике».
В этой фразе ставить запятую не нужно (называй как хочешь - это единое сказуемое).
Здесь верно: их четверо.
Ваш вариант расстановки знаков препинания корректен.
Правильно: администрация губернатора. Прописная буква уместна, если речь идет об Администрации Президента.
