Справедливости ради, термин вопросо-ответный нередко встречается в научной и методической литературе: Для частного употребления создавались и другие вопросо-ответные (эротапкритические) компиляции... [А. А. Алексеев. Чтение Библии в Древней Руси // «Актуальные вопросы современной науки», 2018]; Вопросо-ответный метод различается в зависимости от конструирования вопроса... [З. Комарова. Методология, метод, методика и технология научных исследований в лингвистике, 2014] и др. Однако согласимся, что форма вопросно-ответный гораздо более частотна. С точки зрения словообразования корректны оба варианта (ср. безлесый и безлесный). Также оба варианта правильны и с точки зрения орфографии. Вариант с бессуффиксальной первой частью вопросо-ответный более старый, он был в орфографическом словаре с 1956 г. Соответствует правилу: сложные прилагательные с сочинительным соотношением основ, выражающие равноправные, парные отношения, пишутся через дефис. Вариант вопросно-ответный распространился позднее. Наличие суффикса в обеих частях сложного слова, видимо, более приемлемо, более понятно, воспринимается как более типичное. Написание соответствует основному правилу для прилагательных, образованных сложением основ: сложные прилагательные с сочинительным отношением основ и суффиксом в первой части пишутся через дефис. Этот вариант будет добавлен в Академос. 

Ответить на Ваш вопрос мы попросили д. ф. н. М. Я. Дымарского.

Если полагать, что грамматическая основа предложения должна с достаточной полнотой отражать его смысл, нам придется переписать всю грамматику, отказаться, например, от понятия прямого дополнения и считать, что в предложении Кошка поймала мышку сказуемое — поймала мышку.

В реальности грамматическая основа потому так и называется, что она содержит только тот минимум, который необходим для того, чтобы предложение вообще состоялось. Все остальное называют распространителями (в школе — второстепенными членами), а вот распространители бывают обязательными и необязательными. Обязательным распространитель является в том случае, если без него предложение оказывается неполным (например, Кошка поймала — неполное предложение, потому что в нем опущено обязательное прямое дополнение).

Если Вам кажется, что первая — обязательный распространитель, Вы  может считать его таковым (хотя в реальности предложение без него не становится неполным). Но это в любом случае определение, а не компонент подлежащего. Другое дело, что это определение входит в состав подлежащего, то есть ту часть предложения, которая представляет собой подлежащее со всеми его распространителями.

Согласно правилу отрицание не пишется слитно, если после не, имеющего отрицательный смысл, следует часть слова, отдельно (без не) в качестве самостоятельного слова не существующая: нездоровиться, несдобровать и т. п. С (не)поздоровиться как будто бы такая же ситуация, однако у правила есть примечание: по традиции пишутся раздельно не поздоровиться, не преминуть, не обессудь(те), не обинуясь. Возможно, это связано с тем, что глагол поздоровиться все-таки может употребляться самостоятельно, хотя и в редких случаях, например: Тогда же посмотрю, поздоровится ли русской литературе [А. В. Дружинин. Письма иногороднего подписчика о русской журналистике (1849)]; ...«аналогия» с «загнивающим» капитализмом была бы полная, но от этой «аналогии» вряд ли поздоровится «социалистическому накоплению» [Н. И. Бухарин. Новое откровение о советской экономике или как можно погубить рабоче-крестьянский блок (1924)]; Рассказывал, как шел, голодал, служил банщиком, многое путал, так что если бы он рассказал так следователю, который допрашивает партизан, перешедших фронт, вряд ли бы Петру Лазаревичу поздоровилось [Вс. В. Иванов. Дневники (1940-1948)] и др. 

Нормативными словарями зафиксированы только формы безделье и внимание — как основные и стилистически нейтральные варианты. Это вовсе не означает, что формы безделие и вниманье ошибочны — однако их употребление должно быть связано с особыми условиями. Например, в поэтических текстах и текстах разговорного характера вариант вниманье нередок: Благо̀дарю̀ за дѐтскиѐ стихѝ. / Не за̀ внима̀нье во̀все, за̀ терпѐнье [Б. Б. Рыжий. «Благодарю за все. За тишину…» (03.1996)]; Навлеку на себя поневоле пристальное вниманье: и кто-й-то это у нас там все ползает, чего-й-то он взялся красиво корячиться?! [Валерий Володин. Повесть временных лет // «Волга», 2011]  и т. п. Ср.: А уж потом погляжу между строк / (так, от безделия), / как они лягут тебе на зубок, / эти изделия [Б. Ш. Окуджава. «Красный снегирь на июньском суку…» (1979-1980)]. Иногда формы отглагольных существительных на -ение и -енье отличаются по значению. Например, обозначают процесс и продукт: варение (процесс) и варенье (продукт), копчение и копченье, соление и соленье и др.

В этом предложении из «Сказки для детей» М. Ю. Лермонтова союз но противопоставляет содержание шестой строфы содержанию пятой строфы, сравним:

5
То был ли сам великий Сатана
Иль мелкий бес из самых нечиновных,
Которых дружба людям так нужна
Для тайных дел, семейных и любовных?
Не знаю! Если б им была дана
Земная форма, по рогам и платью
Я мог бы сволочь различить со знатью;
Но дух — известно, что такое дух!
Жизнь, сила, чувство, зренье, голос, слух —
И мысль — без тела — часто в видах разных;
(Бесов вобще рисуют безобразных.)

6
Но я не так всегда воображал
Врага святых и чистых побуждений.
Мой юный ум, бывало, возмущал
Могучий образ; меж иных видений,
Как царь, немой и гордый, он сиял
Такой волшебно-сладкой красотою,
Что было страшно... и душа тоскою
Сжималася — и этот дикий бред
Преследовал мой разум много лет.
Но я, расставшись с прочими мечтами,
И от него отделался — стихами!

И в винительном падеже, и в предложном пишется е: уехать в Заполярье, живу в Заполярье. Правило простое: слова среднего рода на -ье имеют в предложном падеже окончание -е: в ущелье, о варенье. В отличие от них слова среднего рода на -ие имеют в предложном падеже окончание -и: в сопровождении, в молчании, в подразделении.

Да, в русском языке есть глаголы, часть личных окончаний которых не представлена ни в I, ни во II спряжениях. Такие глаголы имеют особое спряжение. Это есть и дать и все образованные от них (съесть, передать), а также глаголы, связанные с данными по происхождению (надоесть, создать). Появление таких окончаний связано с историей этих слов.

Такая проверка не лишена оснований, т. к. знаменитый и знамя – родственные слова: знаменитый – производное от знамя < *znamen ''знак' (знаменитый буквально – отмеченный знаком, ознаменованный). Но однокоренными в современном русском языке слова знаменитый и знамя не являются, поэтому букве закона, требующего проверять безударную гласную ударной в том же корне, такая проверка не соответствует.

Правильно, как Вы верно указываете, на берегу. В русском языке есть несколько существительных второго склонения с таким окончанием в предложном падеже со значением места. Ср.: о береге - на берегу, о носе - в носу, о саде - в саду. Падеж один и тот же, окончания (в зависимости от значения падежа) - разные.