Запятую нужно поставить между частями сложного предложения: Всё проверили, и вот что удалось выяснить: <...>.
По-видимому, это название образовано как сокращение сочетания экономный карман. Сложносокращенные слова пишутся слитно, немногочисленные исключения — через дефис. См. также здесь.
Запятая не нужна.
Гласную в корне глагола растворить в значении 'раскрыть' можно проверить производным существительным раствор (ср.: затворить, затвор).
Тире возможно. Подробнее о постановке тире в подобных предложениях — в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.), см. § 18.
Для постановки запятой нет оснований.
Запятая нужна: это сложносочиненное предложение.
Запятая нужна: она отделяет придаточную часть сложноподчиненного предложения.
Лежа на спине — несогласованное определение (положения какого?), не требующее обособления.
Запятые не требуются. Как вариант, часть предложения можно оформить как вставную конструкцию: Из-за этого (или по другой причине) новый заход оказался быстрым.
