Правильно с маленькой. Нет оснований для написания слова профессор с большой буквы.
Корректно: ухудшение здоровья, осложнение болезни.
Верно: бежать за самолетом (каким?), совершающим рейс.
Верно: 1,9 тысячи. Но лучше: 1900.
Правильно: наличие анклава, существование анклава.
Лучше: в Москве. Канцелярский вариант: в городе Москве.
В единственном числе винительный падеж совпадает с родительным не у всех одушевленных существительных, а только у слов мужского рода второго (по школьной грамматике) склонения: вижу кота – нет кота. У слов женского и среднего рода, у слов мужского рода первого (по школьной грамматике) склонения в единственном числе винительный падеж с родительным не совпадает (несмотря на то что эти существительные одушевленные): вижу кошку – нет кошки, вижу насекомое – нет насекомого, вижу папу – нет папы. А вот во множественном числе винительный падеж совпадает с родительным у одушевленных существительных всех родов и типов склонения (кроме несклоняемых): вижу котов – нет котов, вижу кошек – нет кошек, вижу насекомых – нет насекомых.
Верно: вклад в укрепление.
Верно: труппа покажет балеты "Отелло" и "Третья симфония Малера".
Всё верно, никакие знаки препинания, кроме точки в конце предложения, не нужны.
