Правильно: в Новом Саде. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской (М., 2008) указывает, что если существительное употреблено в сочетании с прилагательным, то в нейтральном стиле письменной и устной речи выбирается форма на -е, ср.: в Хабаровском крае, в телевизионном мосте, в головном мозге, в длительном отпуске.
Правильно: Сколько бы я сюда ни приходила, я всегда...
Не совсем понятен вопрос, но если имеется в виду название комнаты, в которой находится ванна для купания или мытья, то правильно: ванная.
Да, верно: стакан со ста миллилитрами воды.
Корректно: трансляция из суда (из помещения), трансляция заседания суда (самого процесса).
Фраза не вполне ясна. Возможно, ее следует перестроить, и слова в своем роде обособляться не будут: США оказались в своем роде заложниками ситуации.
Правильно со строчной: госсекретарь.
В англо-русском лингвострановедческом словаре «Американа» зафиксировано: Уорик.
