В данном случае обособление не требуется.

Возможно: Изучив Ваш запрос № 154 от 27.07.2016 и проведя повторный анализ стоимости услуг по доставке пленки геотекстильной «дорнит», настоящим письмом сообщаем, что мы рассмотрели все возможности...

В обоих случаях запятая нужна.

В этом предложении оборот с союзом как нужно обособить, потому что он имеет обстоятельственное значение причины: Литература, как один из главных каналов передачи эмоций и внутреннего мира человека, играет важную роль в развитии эмоционального интеллекта.

Вы спрашиваете о синтаксическом разборе, поэтому аргументы из области того, что говорящий имеет в виду, недействительны. Говорящий своим ответом в самом деле сообщает о том, где кот, но делает это косвенным образом, полагая, что слушающий поймет: раз кот ест — значит, он на кухне у своей миски. Но это вывод слушающего из того, что сказано, и подменять собой члены предложения подобный вывод не может. Безусловно, ест — сказуемое.

Кстати, подобная экономия речевых усилий может быть и небезобидна. Если участники диалога находятся в некооперативных отношениях, то ответная реплика «Ест» может ввести собеседника в заблуждение: тот может подумать, что кот мирно ест из своей миски свой сухой корм, а на самом деле кот может доедать котлету, которую он утащил со сковородки собеседника (я с подобными разбойниками знаком, и о таких котах великолепно писал Паустовский). Последствия недоговоренности в таком случае могут быть весьма неприятны.

Нет, в 1970-е, как и сейчас, вариант катАлог признавался не соответствующим литературной норме. При этом он (как и сейчас) часто встречался в речи, в том числе в речи библиотечных работников. Интересно, что в книге К. С. Горбачевича «Вариантность слова и языковая норма» (Л., 1978) указывалось, что варианты некрОлог, катАлог «являются сильными конкурентами традиционной нормы, и престижно-культурный фактор со временем, возможно, и отступит перед автоматизмом речевого стандарта». Но, как мы видим, пока этого не произошло, в наши дни этот престижно-культурный фактор всё еще силен.

Пунктуационное оформление корректно. Обособляется обстоятельственный оборот с деепричастием.

Варианты различаются по значению. Вариант проверка деятельности предприятия в истекшем периоде 2014 года может означать и то, что проверяют деятельность предприятия, относящуюся к данному периоду, и то, что сама проверка проводится именно в этом периоде. Вариант проверка деятельности предприятия за истекший период однозначно указывает на то, что проверяется деятельность предприятия, относящаяся к данному периоду. Поэтому для устранения двусмысленности лучше использовать именно этот вариант.

Вы не вполне правы: Он не должен был реагировать на происходящее, как клиент (= Будучи клиентом, он вообще не должен был реагировать на происходящее) — Он не должен был реагировать на происходящее как клиент (= Он не должен был реагировать на происходящее так, как отреагировал бы клиент (здесь является сказуемым всё сочетание реагировать как клиент), а должен был бы реагировать каким-о иным образом).