Правильно: гелевая ручка. Гелевый – прилагательное от гель, гелиевый – от гелий (гелиевое ядро).
Правильно: переход к чему от чего (к критике личности от критики мнения).
Такая фамилия должна склоняться, например: от Дмитрия Папагеоргия (но от Анны Папагеоргий).
Укачанный — от укачать, укаченный — от укатить. Правильно: укачанный долгой беседой.
Выбор варианта зависит от контекста и от того, каким является замысел автора.
Корректно: ...на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институт математики...» или на базе Института математики...
Правильно: балльно-рейтинговая. Балльный – от балл (оценка, единица измерения), бальный – от бал (танцевальный вечер).
Правильно: подкачанные ребята. Подкачанный – от подкачать, подкаченный – от подкатить: подкаченная к сараю бочка.
