Запятые не требуются.

Сомнения вызывает оборот Начиная Михаилом Фёдоровичем и заканчивая расстрелом (начало периода обозначается именем человека, а финал — событием). Возможно, будет лучше сказать: С начала правления Михаила Федоровича и до расстрела Николая II...

Нельзя точно сказать, сколько миллионов человек имеется в виду. Однако, если бы их было более 20 миллионов, корректно было бы говорить о "десятках миллионов". Таким образом, можно предположить число от 2 до 19 миллионов.

Правильно: Метрополитен-опера, Ла Скала. При употреблении без родового слова кавычки не нужны. Вопрос о целесообразности кавычек в случае употребления этих названий с родовым словом театр следует считать дискуссионным: можно привести аргументы за и против.

Запятая перед союзом и, соединяющим две грамматические основы, действительно не нужна. Обстоятельство в ближайшее время можно считать общим для них, но важнее, что это однородные придаточные части, зависящие от слова надеюсь в главной части.

Не очевидно, что оба события (изменение отношения к питью из блюдца и изменение роли блюдца в чаепитии) произошли одновременно. Более логичным было бы считать, что между ними прошло некоторое время, поэтому запятую рекомендуется поставить. 

Запятая перед или не нужна: в случае осуществления обращения по электронной почте или невозможности регистрации обращения непосредственно в момент обращения — единый обстоятельственный оборот. Кстати сказать, отделять его запятой от остального предложения не требуется.

Правильнее объяснять с помощью правила о чередовании, потому что особенность корней с чередующимися гласными как раз в том, что проверка ударением может оказаться ошибочной, ср: снимать, хотя съём; принимать, хотя приемлет и т. п.

Это относительно новое для нашего языка слово пока не зафиксировано нормативными орфографическими словарями, поэтому корректными следует считать как дефисное (эго-документы), так и слитное (эгодокументы) его написание. Заметим, что дефисный вариант встречается в печати несколько чаще.