Дело в том, что в предложении "Он не врач" отрицательная частица относится не к существительному врач, а к отсутствующему глаголу-связке "быть" в составе именного сказуемого; он не (есть) врач, ср.: он не был врачом.
Союзы (любые) никогда не выделяются запятыми: ни в начале, ни в середине, ни в конце предложения. Запятая может разделять части сложного предложения или члены предложения, связанные союзом. Кроме этого, союз как будто может входить в состав сказуемого.
Корректна форма единственного числа сказуемого. Подробно см. в Письмовнике.
Верен первый вариант. См. раздел Согласование сказуемого с числительными в Письмовнике.
Запятая не ставится, поскольку оборот с союзом КАК представляет собой часть сказуемого.
Предпочтительна форма мн. ч. сказуемого.
Если первое предложение приведено полностью (или полностью приведена его предикативная часть), то в нем слово эллины - это именная часть сказуемого (т. е. наемники - это эллины) и требуется постановка тире. Во втором предложении эллины - приложение.
Предпочтительна форма множественного числа сказуемого.
Предпочтительна форма единственного числа сказуемого: половина граждан посылает.
