Аппарат - заимствованное слово; удвоенная П пишется в соответствии с написанием в языке-источнике.
Пишется со строчных букв: ближнее зарубежье.
Официальное название: Правительство Российской Федерации. В сочетании Правительство России, в ситуации неофициального употребления, первое слово может быть написано и со строчной буквы.
Нет оснований для написания с прописной (большой) буквы.
Официально: День Всех Святых, в земле Российской просиявших. Неофициально: день всех русских святых.
Правописание проверяется в словарном порядке.
Это сочетание пишется строчными буквами.
Правильно: российский флот (неофициальное название), но: Военно-Морской Флот РФ (официальное наименование).
Правильно: парк Строителей.
Да, такое бывает в заимствованных словах и производных от них: например, сёрфинги́ст, сёгу́н, кёнигсбе́ргский.
