Корректно: заглянуть в электронную почту; взглянуть на электронную почту.
Такое употребление возможно. См. значение слова в толковом словаре.
Лучше оформить так: Хотя знаете... Наверное, в другой раз.
Запятая нужна: Мне все равно, в каком городе работать.
Да, это правильно. Подробнее см. в рубрике «1toponimy/">Азбучные истины».
Повтор наращения не нужен. Лучше: в 80—90-х годах.
Строгих правил нет, рекомендации см. в «Письмовнике».
Основания для этого есть – иначе бы в трудах ученых не было тезисов о необходимости выделения категории состояния в отдельную часть речи. Равно как и есть основания для невыделения такой части речи. Следует отметить, что сам вопрос о частях речи в лингвистике является дискуссионным. Части речи – это результат определенной классификации, зависящей от того, что принять за основание для классификации. Количество частей речи в разных лингвистических работах различно и составляет от 4 до 15 частей речи.
Академическая «Русская грамматика» 1980 года категорию состояния в качестве отдельной части речи не рассматривает.
Кавычки не нужны, но в целом предложение стилистически небезупречно, лучше заменить слово лицо либо перестроить всё предложение.
