Корректно со строчной буквы. Что касается буквы ё, то согласно действующим правилам орфографии в текстах обычного характера она употребляется выборочно. Рекомендуется употреблять ее в собственных именах – фамилиях, географических названиях, напр.: Конёнков, Неёлова, Катрин Денёв, Шрёдингер, Дежнёв, Кошелёв, Чебышёв, Вёшенская, Олёкма. Ваш случай относится именно к таким: рекомендуется, но не является обязательным.
С исторической точки зрения такая проверка совершенно справедлива: коньки образовано от конь и названы так по форме и функции (ранее, как правило, полозья спереди украшались фигурками, похожими на лошадиную голову). Но в современном языке эти слова уже не являются однокоренными, живая связь между ними потеряна, поэтому слово коньки в школе дается как словарное.
Правило звучит так: в отглагольных прилагательных и причастиях на «гласная + н(н)ый», образованных от глагола на -ать(-ять), пишется гласная а(я) (нечаянный, выгулянный, недослушанный, подержанный, выменянный, резаный), в словах, образованных от глагола не на -ать(-ять), пишется гласная е (укушенный, положенный, хоженый, крашеный). Глагол отвергнуть оканчивается не на -ать(-ять), поэтому перед нн пишется е.
Согласно правилу в производных от слов на -мя всегда пишется -нн-, например: временной (от основы косвенных падежей времен-), временный, именной, теменной, пламенный, краснознамённый, беременный. В двух случаях прилагательные от слов на -мя образуются при помощи суффикса не -енн-, а -янн-, однако удвоенный согласный при этом сохраняется: безымянный и бессемянный (при наличии варианта бессеменной).
Правилам соответствуют написания прилагательных обыденно-эмпирический и частнонаучный: первое из них образовано от слов, обозначающих равноправные понятия (обыденный и эмпирический), второе — от основ слов, отношение между которыми носит подчинительный характер (частные науки). О написании прилагательного естественно-научный см. комментарий на орфографическом академическом ресурсе «Академос». По аналогии с естественно-научным закономерно и написание естественно-природный.
По общему правилу, обороты с союзом «как» выделяются запятыми, если в основной части предложения имеется указательное слово «такой». Правильно: в такой день, как пятница, обычно чувствуешь накопившуюся усталость; обсуждается такая сложная тема, как деньги; я не высаживаю такие цветы, как ромашки, розы и хризантемы, без предварительной подготовки земли.
См. подробнее в «Справочнике по пунктуации».
Первое предложение бессоюзное. В бессоюзных предложениях между частями ставится тире, если в первой части предложения есть указание на время или условие совершения действия, обозначенного во второй части.
Второе предложение сложноподчиненное с придаточным условным. В этом случае по основному правилу между частями предложения ставится запятая. Если придаточная часть предшествует главной, постановка тире между частями также допустима.
Правило таково. В самостоятельно употребляемых предложениях с отсутствующим сказуемым, не восстанавливаемым из контекста, может ставиться тире. Такие предложения расчленены паузой на два компонента — обстоятельственный и подлежащный. Ср.: За решеткой — сказочная птица (Заболоцкий); В переулках на селе — грязь по колено (Шукшин). Однако при отсутствии паузы и логического ударения на обстоятельственном члене предложения тире не ставится.
В правилах орфографии прямых указаний нет. Однако в словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?» зафиксированы названия некоторых художественных и научных школ со строчной буквы (барбизонская школа живописи, венецианская школа живописи, владимиро-суздальская школа (зодчества и иконописи) и др.). На эти написания можно опираться как на прецедентные.
Написание этих слов подчиняется общему правилу о написании разделительного Ъ после приставок, оканчивающихся на согласный. Буква Ъ пишется в словах иноязычного происхождения с начальными частями аб-, ад-, диз-, ин-, интер-, кон-, об-, суб-, которые в языке-источнике являются приставками, хотя в русском языке в качестве приставок обычно не выделяются. Ср.: адъютант, инъекция, конъюнктура и т. п.
