Пара - обычно только о супружеской паре или о парных предметах. Корректно: вышли две сотрудницы, вышло несколько сотрудниц.
Правильно: пресс-форма (см. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации», параграф 79); ПЭТ-тара_ (так как первая часть -- аббревиатура).
Только прошла пара дней. Это разговорное выражение. В письменной речи лучше: прошло несколько дней.
Название "Вектор" следует заключить в кавычки. Запятые расставлены верно.
Лучше: живет.
Эта фамилия склоняется.
Верно: стояла пара кружек и чайник; стояли пара кружек и чайник.
С точки зрения смысла часть он тезка легендарного полководца тесно связана с частью начальника зовут Василием Ивановичем, что заставляет считать ее еще одной изъяснительной придаточной частью, зависящей от глагола сказал. Постановка тире между однородными придаточными частями не упомянута в справочниках по русской пунктуации, но в данном случае если автор выбрал именно этот знак (а он здесь вполне возможен как сигнализирующий о добавочном сообщении), то запятую перед тире ставить не нужно.
Имя Ара склоняется по модели папа: папы Ары, папе Аре, папу Ару и т. д.
