Пара - обычно только о супружеской паре или о парных предметах. Корректно: вышли две сотрудницы, вышло несколько сотрудниц.
Правильно: пресс-форма (см. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации», параграф 79); ПЭТ-тара_ (так как первая часть -- аббревиатура).
Только прошла пара дней. Это разговорное выражение. В письменной речи лучше: прошло несколько дней.
Название "Вектор" следует заключить в кавычки. Запятые расставлены верно.
Бабушка права лишь отчасти. Она права в том, что уменьшительное Вика от Виктор действительно существовало, оно до сих пор зафиксировано в словарях русских личных имен (см., например, «Словарь русских личных имен» Н. А. Петровского) – так же как и Витя от Виталий (см. фиксацию в том же словаре). Однако в современном русском языке Витя – основная уменьшительно-ласкательная форма от Виктор. Это норма, зафиксированная словарями.
Оба варианта возможны.
Лучше: живет.
Эта фамилия склоняется.
Верно: стояла пара кружек и чайник; стояли пара кружек и чайник.
