Ко двору – в устойчивых выражениях ко двору (быть, прийтись) 'оказаться подходящим к каким-л. условиям, требованиям и т.п.; оказаться желательным' и не ко двору (быть, прийтись) 'оказаться неподходящим к каким-л. условиям, требованиям и т.п.; оказаться нежелательным'. Также: ко двору (пригласить, призвать), где двор в знач. 'монарх и его приближенные'. В других случаях – к двору, напр.: Всю осень шатался от двора к двору, надеясь пристроиться к кому-нибудь, едущему на клевера... И. Бунин, Деревня.
Запятая не требуется.
Указанные запятые нужны: распространенное определение, стоящее после определяемого слова, обособляется.
Сочетание недолго думая запятыми выделяется, но не как вводное, а как деепричастный оборот.
Окончание -У (Ю) встречается у ограниченного числа существительных в форме локатива (предложного падежа со значением "места действия"): в лесу, в порту, в углу, на боку, в раю и некоторые другие. Причины подробно излагаются в "Википедии".
Такая формулировка некорректна. Возможно: благодарность объявляется кому-либо.
Это допустимый вариант пунктуационного оформления предложения.
Запятые в предложении не нужны.
Запятые нужны.
