Корень: -куст-; интерфикс: -ар-; суффикс: -ник. Окончание нулевое.
См. в учебнике Е. И. Литневской.

Оба способа разбора возможны.

Согласно "Морфемно-орфографическому словарю" А. Н. Тихонова, корень: обложк-, окончание: -а. 
Информация доступна здесь.

Книжный вариант более точный, а вариант из сети - упрощенная транскрипция (подходит для школьных учебников).

Ваш ребенок ближе к истине. Буква я в безударной позиции обозначает гласный звук близкий к [и]. Если буква я стоит после согласной буквы, то она еще указывает на мягкость согласного звука (рябина [р'и], маляры [л'и]). В остальных случаях я, кроме гласного, обозначает согласный звук, который в школьной транскрипции чаще обозначают буквой й. Только в позиции под ударением буква я обозначает гласный [а]. Ср.: рябина и рябь, маляры и маляр, язык и якорь, объяснит и объятый. Таковы законы литературного языка. В диалектах звук [а] может оказаться в безударном положении.

Правильны оба решения. Выделение корня известн- – верный разбор с точки зрения современного состояния русского языка. Выделение приставки из- и корня -вест-  – верно с точки зрения истории слова (когда-то оно образовалось от этого корня с помощью приставки из-). Но в современном русском языке слова известный и весть уже ушли далеко друг от друга, поэтому словарь разбирает прилагательное известный как слово, где приставка уже срослась с корнем. Такой подход, конечно, тоже возможен.

Увы, в школьном курсе русского языка совершенно нет идеи, что в языке во многих случаях возможны варианты (произношения, написания, употребления и т. д.), в том числе и варианты разбора слова по составу. Школа очень часто требует только одного правильного ответа, даже тогда, когда один-единственный ответ дать невозможно.

1. В слове солнечный  выделяют корень -солнеч-, в котором е – беглая гласная, а ч чередуется с ц (ср.: солнце), суффикс прилагательного -н- (ср.: солнце – солнечный, молоко – молочный, мышцы – мышечный) и окончание -ый.

2. О склонении фамилий Вы можете прочесть в «Письмовнике».

3. Существует две фамилии с ударным последним слогом: Чернышов и Чернышёв. Написание фамилий определяется традицией. 

В школе это предложение разберут так. Подлежащее выражено количественно-именным сочетанием человек двадцать
 провожавших. Сказуемое – было. На вокзале – обстоятельство.

В науке есть и другие подходы к анализу такого предложения. 

Й - согласный звук. Что касается буквы Й, то чаще всего она обозначает согласный Й или неслоговой И (гласный). 

См. также здесь.

Корень бутерброд и нулевое окончание.