В образцовой литературной речи название надо склонять: в поселке Новогорном.
Правильно: официальная поддержка (чего?) мероприятия. Но: оказать поддержку (чему?) мероприятию.
Запятая не нужна. Поясняющее определение отделяется от поясняемого и не отделяется от определяемого слова: Любая, даже самая малая поддержка неоценима...
Нет, такая форма мн. ч. некорректна.
Если название недостаточно освоено русским языком, лучше его не склонять: в поселке Чаганыш. См. в «Письмовнике»: Как склонять географические названия?
Об этом можно прочитать в учебниках.
Да, название поселка склоняется (и с родовым словом, и без него): в Сенном, в поселке Сенном.
Название поселка склоняется, например: из Сельца, в Сельце. Но в сочетании с родовым словом название лучше не склонять: в поселке Сельцо.
