Словарная фиксация: птица феникс.
Все названные Вами варианты возможны.
Верно написание с прописной: Олина кукла.
Да, правильно с запятой.
Нет, такие сочетания некорректны. Планы выполняют, а исполняют мечты.
В обоих случаях требуется тире. Обратите внимание, что верно: пусть смеется надо мной.
Вторая формулировка корректна: пусть x = 2, тогда y =... В первом случае нужно употребить союз если: если x = 2, то y =...
В данном случае пунктуация вариативна. Автор может сделать акцент на сочетании как птица, в этом случае синонимичном наречию по-птичьи (см. пункт г) параграфа 90 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина), а может поставить на первый план призыв летать (сравним вариант с парцелляцией: Летай! Как птица!), и тогда сочетание как птица окажется обычным сравнительным оборотом, обозначающим уподобление.
