Вы написали это сочетание верно.
Овраг – префиксальное производное от вьрагъ > враг (ср. название переулка в Москве – Сивцев Вражек), суффиксального производного от вьрьти «бить ключом, бурлить». Исходно – «поток», затем – «рытвина от таких вод и дождей».
Некорректно: неясно, к кому относится местоимение свое (свое здоровье — это здоровье врача или его пациентов?).
Обособление нужно. В этих случаях приложение с союзом как осложнено причинным значением. См. об этом параграф 64 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
Такие сочетания пишутся через дефис: врач-хирург, врач-кардиолог.
Верно: благодаря этому врачу.
Если у них один и тот же домашний врач, следует использовать форму единственного числа. Если разные — множественного.
Возможно как слитное, так и раздельное написание. При слитном написании утверждается неясность, при раздельном – подчеркивается отрицание (отрицается ясность).
Да, дефис нужен: врач-пульмонолог.
См. «Письмовник».
