Только прошла пара дней. Это разговорное выражение. В письменной речи лучше: прошло несколько дней.
Постановка тире не требуется: Когда Щербакова сама решает, как сниматься в рекламе, что восхищает мой разум!
Лучше: живет.
Все варианты правильные. В современном литературном языке в количественном (партитивном) значении род. п. в письменной речи преобладает форма на -а (чашка чая). Но в разговорной речи часто употребляется флексия -у, особенно в глагольных конструкциях со значением неполного объекта (хочу чаю, добавить сахару и т. п.). Винительный падеж (хочу чай) также возможен, т. к. речь идет о конкретном объекте.
Может быть, ребенок попробует? Ему же знания получать!
Верно: стояла пара кружек и чайник; стояли пара кружек и чайник.
Имя Ара склоняется по модели папа: папы Ары, папе Аре, папу Ару и т. д.
Правильно: Саша, спасибо тебе за все. Нет оснований для постановки запятой после спасибо.
