Корректно: из са́мого (центра ч.-л.), в са́мом (центре), в са́мой (сердцевине) и т. п. В этих конструкциях представлены формы адъективного местоимения са́мый: в са́мом де́ле; на са́мом де́ле; са́мое вре́мя гуля́ть. Вероятно, возможна путаница с формами местоимения сам.
Слова сама по себе не изменяются по падежам: нет кошки, которая гуляет сама по себе, вижу кошку, которая гуляет сама по себе.
Лучше поставить тире: Хочешь – иди гулять, хочешь – оставайся дома.
Запятые не нужны.
Рекомендуется пробел.
Для слоговых аббревиатур, оканчивающихся на согласный, согласование в мужском роде при наличии опорного слова иного рода (среднего, женского) - частое явление. Ср., например: МИД, ТАСС.
Правильно: Днепрогэс.
Имя актера тоже склоняется. Правильно: с Раджем Капуром.
Знаки не требуются: Надо так надо. Гулять так гулять.
Правильно: ...по реке Неве. См. в «Письмовнике».
