Для начала уточним смысловые свойства слова эти. Оно принадлежит категории указательных местоимений и не обладает самостоятельным лексическим значением, а лишь указывает на то, что говорящему представляется важным. Это может быть что-либо важное в реальной ситуации. Это может быть то важное, о чем ранее уже шла речь (то есть говорящий отсылает к ранее сказанному). Резюме: значение местоимения эти зависит от контекста в его реальном (внеязыковом) воплощении и в речевом оформлении. Далее: выражение эти выходные из-за смысловых особенностей указательного местоимения не следует соотносить с календарем. Нужно прислушаться к словам говорящего и понять, что он имеет в виду, когда употребляет эту фразу. Действительно, кто-то может сказать: в эти выходные мы ездили на дачу. У кого-то будут все основания сказать: в эти выходные мы поедем на дачу. У слушающего нет иной возможности (благодаря глаголу), как однозначно истолковать эти высказывания и сделать правильные выводы о подразумеваемых днях. Выражение следующие выходные так же контекстно зависимо. В толковании 'наступающий вслед за чем-либо, ближайший после чего-либо' обозначены смысловые переменные: за чем-либо, после чего-либо. Все уточнения (сведения о точках отсчета) вносит в значение выражения конкретный контекст. Вывод: обсуждаемые речевые обороты, несмотря на то что в высказываниях сообщают информацию о конкретных датах, сами весьма относительны по смысловым признакам. Это свойство закрывает оборотам «дорогу» в деловые и научные тексты. В повседневном общении собеседники всегда могут попросить сделать дополнения и уточнения, если дни описываются при помощи таких указательных оборотов и появляются сомнения в их верном толковании.

Сейчас по-прежнему действуют «Правила русской орфографии и пунктуации», принятые в 1956 году, несмотря на то что отдельные пункты этих правил устарели и уже не соответствуют современной практике письма. Это произошло в том числе потому, что некоторые предписания свода 1956 года были вызваны идеологическими причинами (например, предписывалось писать бог, а не Бог, вторая мировая война, а не Вторая мировая война). Кроме того, правила 1956 года не регламентируют написание отдельных категорий слов – по той простой причине, что в 1956 году этих слов еще не существовало.

Справочники Д. Э. Розенталя в целом опираются на свод правил 1956 года. Это своего рода расширенный комментарий к правилам (как есть конституция – тоненькая книжечка и комментарий к конституции – увесистый том, подробно разъясняющий каждую статью). Справочники Д. Э. Розенталя много раз перерабатывались и редактировались (в том числе уже после смерти автора), поэтому они в целом соответствуют современным нормам письма (хотя отдельные рекомендации этих книг тоже устарели).

В 2006 году вышел в свет полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» (под ред. В. В. Лопатина), ставший результатом многолетней работы коллектива Института русского языка РАН и Орфографической комиссии РАН. Справочник представляет собой дополненную редакцию действующих «Правил русской орфографии и пунктуации» 1956 года. Он дополняет и уточняет эти правила в соответствии с современной практикой письма. Однако (по причинам, не зависящим от лингвистов) издание 2006 года и более поздние издания носят именно характер справочника, не общеобязательного свода (этот формальный статус сохраняется за сводом 1956 года).

Корректно: На ходу он кинул: «Береги его!» – и вышел за дверь.

Верно: Об этом может рассказать только кто-то из них.

Вполне корректно.

Запятая не нужна.

Корректно: сообщил в телеграмме, сообщил телеграммой.

Можно так: ...понял - не понял, знает - не знает.

Запятая не ставится.