Казань – существительное женского рода: в Казани.
Правильно: в национальной и мировой экономике.
Правильно: открыть новую страницу в чем-либо.
См. в «Словаре трудностей».
Лучше всего: филиал в Нижнем Новгороде.
Запятые в этом предложении не требуются.
Верно: в связи со служебной проверкой.
См. в "Словаре трудностей".
Правильно: забытьё, в родительном падеже – забытья.
У слова гора было значение ‘верх’. Отсюда наречие горе́ ‘вверх’, слова горний ‘находящийся в вышине’, горница ‘комната в верхнем этаже’. Тем самым идти в гору значит ‘двигаться вверх’. Переносное значение выражения лезть в гору ‘добиваться благополучия, служебного продвижения’ фиксируется в XVIII веке. Более позднее распространение фразеологизма идти в гору В. В. Виноградов связывал с проникновением его в разговорную речь из карточного жаргона. Подробнее см. в статье Виноградова.