Последние 65 лет написание этого слова не менялось. Верно раздельное написание.

Указанная запятая ставится.

Запятую ставить не требуется.

По основному правилу тире ставится.

Между подлежащим и именным сказуемым на месте отсутствующей связки ставится тире, если подлежащее и сказуемое выражены существительными в форме именительного падежа.
Тире может не ставиться, если в письменной речи отражено произношение с логическим ударением на сказуемом.

Выражение настроить под себя широко используется, особенно в разговорной речи. Технические контексты — весьма распространенное «поле» применения этого оборота, отличающегося по своему значению от предложенных вариантов. Строго говоря, вопрос заключается не в общей стилистической оценке выражений настроить под себя, подобрать под себя, адаптировать под себя, а в том, уместны они или нет в конкретном высказывании (тексте). Как представляется, обсуждаемому высказыванию не свойственны приметы разговорности, а следовательно, сочетание под себя лучше заменить стилистически нейтральным. 

Валяющейся на полу – причастный оборот, но запятая не ставится, т. к. оборот связан по смыслу со сказуемым (смысл высказывания заключается не в том, что он обнаружил шинель, а в том, что шинель валялась на полу).

Высказывание построено корректно. Слово последний, отсылающее к слову трапеция, используется в зафиксированном в словарях значении 'такой, который был назван, упомянут после всех остальных или в конце какого-либо перечисления'. Такое употребление слова последний имеет книжный характер и преследует цель избежать повтора того или иного слова. Слово полусумма не приведено в словарях потому, что значение подобных, однотипно построенных слов с повторяющейся первой частью выводится из значения составляющих их частей, которые в словарях даны. Например, о компоненте полу- в словаре сказано, что он вносит значение  'половина чего-либо'.