Правильно: Вначале я не поверила своим глазам и только после сравнения дат проведения операции и наградных документов на представление отца к ордену Красной Звезды поняла, что теперь в истории нашей семьи есть ещё одно подлинное свидетельство военной поры о боевом пути нашего дорогого солдата — старшего сержанта Красной армии Ивана Яковлевича Киливаева.
В. п. — (Ивана) Глухия, ср. Стефана Батория.
Фамилия Штых, принадлежащая мужчине, склоняется: Ивана Штыха.
В зависимости от традиции такие фамилии могут писаться либо через тире (Сеницер — ван Леенинг), либо, что более вероятно, с двумя пробелами (Сеницер ван Леенинг).
Попробуйте начать с Ивана Сергеевича Тургенева и Льва Николаевича Толстого.
Если фамилия принадлежит мужчине, корректно: Ивану Недождию (но: Елене Недождий).
Фамилия Иволга должна склоняться: у Ивана Иволги, о Елене Иволге.
Мужская фамилия Шлегель склоняется: Шлегелю Ивану. Женская не склоняется: Шлегель Ирине.
Выбор формы зависит от смысла предложения. Например, верно: О назначении Ивана Иванова исполняющим обязанности...
