Слово день тут ни при чем. Непроизносимый согласный в словах праздник, праздничный можно проверить краткой формой исторически родственного им прилагательного праздный 'не занятый делом, работой': празден. Но в школьной практике праздник чаще дается как словарное.
Правильно: гриль-противня (Р. п.). Подробнее см.: https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pismovnik/kak-sklonyat-sostavnye-sushchestvitelnye
Верно: праздное.
Название этой организации пишется без кавычек, правильно: Красный Крест. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Да, пункты перечня следует отбивать абзацем.
Если деепричастие в составе определительной придаточной части имеет в качестве зависимого слова союзное слово который, то деепричастный оборот не обособляется.
Также обратите внимание, что в предложении не хватает запятой после слова грезы (после придаточного).
Верно: Это было красивое место, увидев которое ты чувствуешь, как в душе рождаются, словно смутные стихи, самые неистовые грезы, и где испытываешь настоящую тоску, почему-то не видя их вокруг.
Правильно слитное написание. Не забудьте поставить запятую перед союзом или (здесь кончается придаточное предложение).
