Корректно: в парке "Изумрудный". Приложения, выраженные прозвищами или условными названиями, не согласуются с определяемыми словами, т. е. сохраняют начальную форму во всех падежах, например: у Всеволода Большое Гнездо; с Оленем Золотые Рога (имя индейца); в газете «Правда»; на заводе «Арсенал». 

В данном случае определение иную относится не непосредственно к существительному тайну, а к сочетанию охраняемую законодательством Российской Федерации тайну. Соответственно, запятая не нужна. Сравним примеры заячий наполовину потёртый воротник; большой собранный автором материал и т. п. (пункт 7 параграфа 10.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя).

Слово Рождественский пишется с большой буквы, если начинает собой сочетания, связанные с Рождеством как христианским праздником, с церковным календарем (т. е. имеющие прямую связь с религией), например: Рождественская звезда (библ.), Рождественская ночь, Рождественский пост, Рождественский сочельник. Но ср. написание строчными в таких сочетаниях: рождественские морозы, рождественские каникулы.

В современном русском языке в слове ссора выделяется корень ссор-; слова мусор и ссора однокоренными не являются. Более того, не являются они и этимологически родственными, т. к. происходят от разных основ: мусор связывают с мусолить, а слово ссора возводят к тому же корню, что и свара, сварливый.

Откликнитесь – форма мн. числа повелительного наклонения, откликнетесь – форма 2-го лица мн. числа будущего времени (изъявительное наклонение). Различаются в написании близкие по звучанию безударные окончания будущего времени изъявительного наклонения (-ете-) и повелительного наклонения (-ите-), ср.: выберете (буд. время) – выберите (повелительное наклонение), крикнете – крикните, вытрете – вытрите и т. д.

Запятая перед союзом и не нужна, т. к. союз соединяет однородные сказуемые поднялась и вошла. Обстоятельство через казарменный коридор автор мог обособить, если бы посчитал, что эти слова содержат попутное пояснение. Но раз обособления нет, значит такого оттенка значения, по мнению автора, эти слова не имеют.

Это слово, конечно, восходит к древнерусскому коло 'круг'. Но в современном русском языке этот корень в слове околица уже не выделяется, т. к. в современном языке значение слова околица не может быть объяснено через значение этого корня. Сейчас при разборе существительного околица надо выделить корень околиц-.

Предпочтительно: сморит, но «Большой орфоэпический словарь русского языка» М. Л. Каленчук, Л. Л. Касаткина, Р. Ф. Касаткиной (М., 2012) допускает ударение сморит (как младшую норму). Тем не менее эту строчку трудно признать корректной, т. к. по-русски говорят сон сморил кого-либо и не говорят сон сморил чьи-либо глаза.

Корректно: Он вдохнул обволакивающий, нежный шлейф духов и сам не заметил, как оказался сидящим напротив нее с глупой улыбкой и все еще держащим свой поднос с обедом на весу. Запятая после слова духов не нужна, т. к. неповторяющийся союз и соединяет однородные сказуемые вдохнул и не заметил.

Это выражение употребляется в значении: мысль, способ и т. п., помогающие разобраться в сложной обстановке, найти выход из какой-либо трудной, запутанной ситуации. Выражение возникло из древнегреческого мифа о Тезее, убившем Минотавра. Дочь критского царя Ариадна дала Тезею клубок ниток, чтобы он мог найти выход из лабиринта.