Обычно в сочетании с конкретным существительным – искать что, а в сочетании с отвлечёнными существительными – искать чего. В приведенном Вами примере допустимы оба варианта.
Запятая не нужна.
Правильно с тире: Они считали, что им задают вопрос: «Кто ты?» – и отвечали: «Не местные».
Слово БОМЖ может быть написано прописными буквами (как аббревиатура), однако данный вариант является канцелярским (употребимым в официально-деловой речи), причем в этом случае БОМЖ – неизменяемое слово.
В значении 'лицо без определенного места жительства, бродяга' слово бомж пишется строчными буквами и склоняется. Правильны оба варианта: бомжи и бомжи.
Запятая не нужна.
Корректно без запятой. Как правило, запятая после присоединительного союза и перед подчинительным союзом не ставится.
Правильно: Ив Монтан. Склоняется и имя, и фамилия актера, правильно: с Ивом Монтаном.
Корректно: Новая программа состоит из свечей со стойким к нагару, благодаря специальному покрытию, боковым электродом.
Тире уместно, ошибок нет.
Оба варианта произношения ошибочны, правильно: начался.
