Правильно: в семи из тридцати одного случая.
Корректно: этно-джаз-проект.
Это частица. Частицы, как и другие служебные части речи, не являются членами предложения.
В школьном синтаксическом разборе такие словоформы, обозначающие субъект состояния в безличном предложении, относят к дополнениям.
См. ответ на вопрос № 326177.
Фраза некорректна. Метрополитен – подземная, наземная или надземная городская электрическая железная дорога.
Летняя - относительное прилагательное. Ср.: не деревянный, не железный; но некачественный, невозможный.
Есть такая должность на железных дорогах: помощник диспетчера, составляющий графики движения поездов.
Лучше: в метрополитене. Вариант на метрополитене поддерживается сильной аналогией с сочетанием на железной дороге.
Лучше: в метрополитене. Вариант на метрополитене поддерживается сильной аналогией с сочетанием на железной дороге.