Да, по правилам фамилия Луць, принадлежащая мужчине, должна склоняться. В противном случае контексты типа принадлежит А. И. Луць (вместо принадлежит А. И. Луцю), наградили А. И. Луць (вместо наградили А. И. Луця), говорили об А. И. Луць (вместо говорили об А. И. Луце) будут ясно показазывать, что речь идет о женщине. 

Так сказать можно.
В первом случае предложения будут двусоставными, во втором — безличными. В «Русской грамматике» (1980) отмечается, что значение таких предложений совпадает, но в то же время есть некоторые различия: в безличных предложениях, в частности, называется неопределённый или обобщённый субъект, а в двусоставных — определённый, уже известный.

Слово ведь, выполняющее здесь функцию союза, действительно можно отнести к обеим частям сложносочиненного предложения, что отменяет постановку запятой перед союзом и. Вместе с тем причинно-следственные отношения между частями позволяют отнести ведь только к первой части. Следовательно, в этом предложении будут корректны оба варианта — с запятой перед и и без нее. 

В данном случае корректен только один вариант написания: моя ундина (со строчной буквы и без кавычек). Здесь слово ундина — синоним слова русалка. Постановка/непостановка кавычек зависит от контекста, в котором Вы собираетесь употребить это слово. Например: девушка, которую Печорин зовет "ундиной". Здесь кавычки будут служить маркером чужих слов. 

Нужна только первая запятая, разделяющая однородные определения — согласованное и несогласованное. Правило таково: запятая ставится при сочетании согласованных и несогласованных определений (несогласованное определение помещается после согласованного), ср.: Между тем в приземистой, с коричневыми стенами зимовке Клюшиных действительно горела слегка увернутая семилинейная лампа; Она сняла со стола толстую, с бахромой скатерть и постелила другую, белую.

Вы правы: довольно большое количество старых ответов ушло в архив, и вряд ли в обозримом будущем они снова будут доступны.

Что касается слов бренд и тренд, они прочно вошли в современный язык, их написание (через е) зафиксировано в орфографическом словаре РАН.

В Вашем вопросе лишняя точка после закрывающей кавычки, в остальном всё верно.

Фамилия Дядя склоняется. Склоняемость-несклоняемость фамилий, пишущихся с буквой я на конце, зависит только от места ударения и происхождения фамилии. Несклоняемы фамилии французского происхождения с ударением на конце: Золя, Труайя. Все прочие фамилии на я склоняемы; таковы Головня, Зозуля, Сырокомля, Гамалея, Гойя, Шенгелая, Данелия, Берия.

См. https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pismovnik/kak-sklonyat-familii-trudnye-sluchai

Слово морж в значении 'любитель зимнего плавания в открытых водоёмах' зафиксировано словарями русского языка (см. пример словарной статьи), т. е. необычным такое значение назвать уже нельзя. Поэтому необходимости в постановке кавычек нет. Но в некоторых контекстах кавычки будут уместны (если есть вероятность, что читатель может не понять, идет ли речь о людях или о животных).