Запятая нужна.
Возможны оба варианта.
Конструкция без предлога более частотна.
Конструкция гарантия от... также встречается, но может использоваться в двух различных ситуациях: для указания на источник гарантии (гарантия от производителя) и для обозначения того, чего необходимо избежать (Прививка оспы — гарантия от заболевания ею).
Правильно: «наложенный этим отпечаток».
В непринужденной речи возможны оба варианта, но преобладает сочетание лекарство от. Более точно: лекарство от боли в горле, лекарство для лечения горла.
Правильно: александро-прасковинский.
Поскольку словарной фиксации у этой аббревиатуры пока что нет, возможны оба варианта.
Знаки препинания, которые стоят на месте «разрыва» предложения вставной конструкцией, выделяемой скобками, помещаются после скобок.
Можно так: дети, матери которых страдают сахарным диабетом...