Мы любим Грамму.Ру и многому учимся у коллег.

Верно: сесть за руль ЗИЛа. Чтобы вопрос «кем быть?» не мучил.

Скорее всего, речь идет о неправильно написанном слове инсинуация.

Этот случай нельзя считать переходом собственного имени в число нарицательных.

Не с глаголами пишется раздельно. Правильно: не приемлем очередей.

Устаревшие слова делятся на 2 группы: историзмы и архаизмы.

Историзмы – это слова, обозначающие исчезнувшие из современной жизни предметы, явления, ставшие неактуальными понятия, например: кольчуга, барщина, конка; соцсоревнование, Политбюро. Эти слова вышли из употребления вместе с обозначаемыми ими предметами, понятиями и перешли в пассивную лексику: мы их знаем, но не употребляем в своей повседневной речи. Историзмы относятся к устаревшим словам, хотя здесь устаревают не сами слова, устаревают понятия и явления.

Архаизмы – это устаревшие названия существующих и в современности явлений и понятий, для обозначения которых возникли другие, современные названия, например: ланиты – 'щеки', десница – 'правая рука', пагуба – 'погибель'; живот – 'жизнь', ресторация – 'ресторан'. В словарях пометой «устар.» сопровождаются в основном архаизмы.

Из приведенных Вами примеров, пожалуй, только слово промокашка можно считать историзмом, а следовательно, устаревшим словом. Чернильницу и пилотку вряд ли можно считать таковыми: пилотки продолжают существовать, чернильницей и сейчас пользуются, она применяется в каллиграфии (строго говоря, и промокательная бумага продолжает существовать, но вот промокашка как листочек, который вкладывали в тетрадки и которым пользовались в школе, точно ушел в небытие).

Это союз, он не является членом предложения.

Следует писать не: Не знаешь, Виталий не в командировке случайно?

1. Запятая не нужна. 2. Верно: В связи с исполнением приказа №000 от 00.00.000 информирую Вас...

Такие сочетания могут рассматриваться как разговорные и в таком статусе использоваться в СМИ.