Будучи — деепричастие (от глагола быть), а деепричастия и деепричастные обороты обособляются (за исключением некоторых особых случаев, к которым приведенный контекст не относится).

Вы совершенно правы. Глагол зоревать числился исключением со времен выхода в свет академического свода правил орфографии (1956). Однако сейчас пишется только заревать. 

Слова заревать, зарянка, заревой изменили написание в словарях последних десятилетий. С 1999 г. в академическом орфографическом словаре даётся слово заревать. До 1974 г. словари рекомендовали писать слово зорянка с корнем зор-. "Орфографический словарь русского языка" в 13-м издании 1974 г. утвердил в качестве нормативного написание зарянка. Слово заревой с 1991 г. рекомендуется писать только с корнем зар-, хотя в орфографическом словаре 1974 г. приводились оба варианта, а в 1956 г. было только зоревой, в словаре Д. Н. Ушакова заревой. Как имя собственное утвердилось написание Зоревая пушка (в Петербурге), хотя в общем случае пишется заревая пушка. В качестве примера приведём название рассказа В. Шукшина, которое до сих пор пишется то "Заревой дождь", то "Зоревой дождь". (Из "Объяснительного русского орфографического словаря-справочника" Бешенковой Е. В., Ивановой О. Е., Чельцовой Л. К. М., 2015). 

Правильно слитное написание: Над головой хрипло орали невидимые за листьями птицы. Здесь нет влияющего на раздельное написание творительного действующего лица (не видимые мною) или творительного орудия действия (не видимые глазом). 

Запятые расставлены правильно. 

Допустимо, но лучше поставить точку или запятую.

Корректно: Он заглянул под верстак – никого… Он посмотрел в корзине со стружками – никого… Он высунул голову за дверь – никого на улице…

Пунктуация в последнем предложении зависит от строя этого предложения. Например: Он опять взял топорик и опять, только ударил по полену, услышал писк.