Запятая в предложении может ставиться как перед составным союзом (перед словом НЕСМОТРЯ), так и между частями союза (перед словом ЧТО). Главное: запятая ставится только один раз; ставить запятую и перед союзом, и между его частями не нужно.

Следовательно, "душевное оздоровление" - это беседа с психиатром?

Духовный - от слова "дух", душевный - от "душа". Если имеется в виду "в здоровом теле - здоровый дух", то использование прилагательного "духовный" может быть оправданным в Вашем контексте.

В Вашем случае нормативно написание местоимения с прописной буквы. Человека, знакомого с правилами орфографии и уважающего эпистолярные традиции, обращение на вы (со строчной буквы) в личном письме неприятно удивит. И эта орфографическая мелочь может повредить репутации пишущего.

Слово осень может быть написано с большой буквы в стилистических целях (если подчеркивается особый смысл, подчеркивается значимость наступления осени) или если оно используется, например, как название персонажа художественного произведения. В остальных случаях оснований для большой буквы нет.

Вы имеете в виду государственный регистрационный знак автомобиля? В разговорной, неофициальной речи его иногда называют госзнаком, хотя словари литературного языка такое слово пока не фиксируют. Гознак – это сокращенное название Главного управления производством государственных знаков, монет и орденов. 

Ошибки нет. Глава в значении 'руководитель' может употребляться как существительное и мужского, и женского рода. Поскольку неизвестен пол будущего главы администрации, выбирается мужской род (т. к. женский будет однозначно указывать на то, что глава администрации будет женщиной).

Глагол обуть может входить в сочетания обуть кого-то (надеть обувь на кого-то): обуть ребенка.

Также в разговорной речи возможны сочетания обуть что-то (надеть какую-либо обувь на ноги): обуть валенки, тапочки.

От типа обуви употребление глагола не зависит.

Не вполне ясно, в каких случаях в предложении за точкой может следовать запятая – разве что точка употребляется как знак сокращения? В любом случае такая замена невозможна: у точки с запятой есть свои сферы функционирования, оговоренные правилами правописания.

Обратите внимание: Вы пишете слово Беларусь через о – Белорусь. Такого слова – Белорусь – не существует. Либо Беларусь (официальный вариант), либо Белоруссия (неофициальный вариант). Название Беларусь, разумеется, может употребляться без слова Республика – и в именительном падеже, и в косвенных.

Такова литературная норма. Объяснить, почему ударение в слове падает на тот или иной слог, нельзя. Русское ударение свободное, разноместное, может падать на любой слог (в отличие, например, от французского языка, где ударение фиксированное – всегда на последнем слоге).