Очень интересный вопрос! Здесь название социальной сети (оно пишется с прописной буквы и в кавычках, в разговорной речи допустимо со строчной и без кавычек) употреблено в обобщенном значении 'социальные сети'. Такое употребление не регламентировано правилами орфографии, хотя можно провести параллель с подобным переносом имени (фамилии) человека: Хлестаковы, Митрофанушки, Ломоносовы. Имена людей в таких случаях писать со строчной буквы не рекомендуется. Но в Вашем предложении написание с прописной и в кавычках может внести неясность. Чтобы читатель правильно воспринял обобщенный смысл нужно написать название социальной сети со строчной буквы и без кавычек.
Первое слово официального названия пишется с большой буквы: Министерство образования и науки Амурской области.
Да, нужно.
См. в Учебнике ГРАМОТЫ.
См. в «Письмовнике».
Это слово склоняется. Корректно: в «Инстаграме» и в инстаграме.
Слова декан, ректор, научный руководитель пишутся со строчной буквы.
Корректно (об ордене): пожаловал Георгия.