Название Минпросвещения России не склоняется. При этом склоняются наименования с усеченной конечной частью: Минтруд, Минспорт, Минздрав... (но: Минобрнауки, Минобороны - не скл.!)
Приставка пост... пишется слитно. После начальной части слова, по основным правилам пишущейся слитно, следует писать дефис, если вторая часть представляет собой собственное имя и потому пишется с прописной буквы. Орфографически верно: пост-Россия.
В названии «Почта России» первое слово (почта) склоняется, если название употреблено самостоятельно, без родового наименования: На встречу пригласили директора воронежского филиала «Почты России».
Запятая после слова миру не нужна.
Фамилия Сорока склоняется (и мужская, и женская). Мужские фамилии Гаршнек, Шмутман склоняются, женские – нет.
Правила склонения фамилий см. в «Письмовнике».
Верно с запятыми.
В зависимости от контекста возможны варианты: распространиться на Россию и распространиться в России.
Слова народный артист пишутся строчными буквами.
Кавычки не требуются: Я посетил все города-герои, путешествовал по Золотому кольцу России.
